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clemens clemens clemens
Referat

TitelBernoulli Versuche 
Anzahl Worte245 
SpracheDeutsch 
ArtKurzzusammenfassung 
SchlagworteZufallsversuch, Ergebnisse, Erfolg, p, 
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Bewertung+++ 

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Auszug aus dem Referat (ohne Grafiken)

Bernoulli Versuche

Definition:
Ein einstufiger BV ist ein Zufallsversuch mit zwei möglichen Ergebnissen die man mit
Erfolg und Misserfolg bezeichnet.

Wird ein BV n-mal durchgeführt und ändert sich die W. p für Erfolg nicht, so spricht man von einem n-stufigen BV.


Definition der Binomialverteilung:
Gegeben sei ein n-stufiger BV mit der Erfolgsw. p und der Misserfolgsw. q = 1-p .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
X: Anzahl der Erfolge
heißt Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet man mit der Formel:

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Erwartungswert:
Ist X die Anzahl der Erfolge bei einem n-stufigen BV mit der Erfolgsw. p, dann gilt

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Beweis für n = 1:
k

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0

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1

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Varianz
X sei binomialverteilt zu den Parametern n und p.
Dann gilt:

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Standartabweichung
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Gaußsche Dichtefunktion
Der Graph der Funktion mit dem Term

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heißt Gaußsche Dichtefunktion.


Lokale Näherungsformel von Moivre und Laplace
Für große n gilt:
Wenn X zu n und p binomialverteilt ist gilt:

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Diese Näherung liefert brauchbare Werte für σ > 3


Integrale Näherungsformel von Moivre und Laplace
φ sie eine Stammfunktion der Gaußschen Dichtefunktion ϕ.
X sei B(n, p).
Dann gilt bei großen n:

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Diese Näherung liefert brauchbare Werte für σ > 3


Wahrscheinlichkeiten in der n-fachen σ-Umgebung
Für einen BV mit B(n, p) gilt:

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Für n >> 1 und daraus resultierendes σ >> 3 gilt daher:

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wichtige Werte:
Radius der Umgebung
Näherungswert von P(x=k)
1,645 σ
0,90
1,96 σ
0,95
2,575 σ
0,99

Beweis:

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da der Term
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für n >>1 sehr gering wird, kann er vernachlässigt werden.

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Ende des Auszuges


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